Optimal Non-Parametric Prediction Intervals for Order Statistics with Random Sample Size

Document Type: Research Paper

Authors

1 Department of Statistics, Kosar University of Bojnord, Bojnord, Iran

2 Department of Industrial Engineering, Kosar University of Bojnord, Bojnord, Iran

Abstract

‎ In many experiments, such as biology and quality control problems, sample size cannot always be considered as a constant value. Therefore, the problem of predicting future data when the sample size is an integer-valued random variable can be an important issue. This paper describes the prediction problem of future order statistics based on upper and lower records. Two different cases for the size of the future sample is considered as fixed and random cases‎. To do this, we first derive a general formula for the coverage probability of the prediction interval for each case. For the case that the sample size is a random variable, we consider two different distributions for the sample size, such as ‎binomial and Poisson distributions‎ and we study further details. The numerical computations are also given in this paper‎. Another purpose of this paper is to determine the optimal prediction interval for each case. Finally, the application of the proposed prediction interval is illustrated by analyzing the data in a real-world case study.

Keywords

Main Subjects


Article Title [Persian]

فاصله پیش بینی ناپارامتری بهینه برای آماره های مرتب با اندازه نمونه تصادفی

Authors [Persian]

  • الهام بصیری 1
  • آیلین پاکزاد 2
1 گروه آمار دانشگاه کوثر بجنورد، بجنورد، ایران
2 گروه مهندسی صنایع، دانشگاه کوثر بجنورد، بجنورد، ایران
Abstract [Persian]

در آزمایشهای زیادی از جمله مباحث زیستی و کنترل کیفیت، اندازه نمونه همواره نمی تواند ثابت نگه داشته شود. بنابراین، مساله پیش بینی داده های آینده زمانیکه اندازه نمونه یک متغیر تصادفی است، می تواند یک موضوع مهم باشد. این مقاله مساله پیش بینی آماره های مرتب آینده براساس رکوردهای بالا و پایین مشاهده شده را بررسی می کند. دو حالت مختلف به صورت ثابت و تصادفی برای اندازه نمونه آینده فرض شده است. برای این منظور، در ابتدا یک فرمول کلی را برای احتمال پوشش فاصله پیش بینی ارائه می دهیم. در حالتی که اندازه نمونه یک متغیر تصادفی است، ما دو توزیع متفاوت به صورت توزیعهای دوجمله ای و پواسن را برای اندازه نمونه در نظر می گیریم و جزئیات بیشتر را مطالعه می کنیم. محاسبات عددی نیز در این مقاله ارائه شده اند. یکی دیگر از اهداف این مقاله تعیین فاصله پیش بینی بهینه است. در نهایت، کاربرد روشهای بیان شده در مقاله را با یک مثال واقعی مورد تحلیل قرار می دهیم.

Keywords [Persian]

  • فاصله پیش بینی
  • اندازه نمونه تصادفی
  • تابع بتا
[1] Abd Ellah, A. H., & Sultan, K. S. (2005). Exact Bayesian prediction of exponential lifetime based on fixed and random sample sizes. Quality Technology & Quantitative Management, 2(2), 161-175.

[2] Ahmadi, J., & Balakrishnan, N. (2010). Prediction of order statistics and record values from two independent sequences. Statistics, 44(4), 417-430.

[3] Ahmadi, J., & Balakrishnan, N. (2011). Distribution-free prediction intervals for order statistics based on record coverage. Journal of the Korean Statistical Society, 40(2), 181-192.

[4] Ahmadi, J., & MirMostafaee, S. M. T. K. (2009). Prediction intervals for future records and order statistics coming from two parameter exponential distribution. Statistics & Probability Letters, 79(7), 977-983.

[5] Ahmadi, J., MirMostafaee, S. M. T. K., & Balakrishnan, N. (2010). Nonparametric prediction intervals for future record intervals based on order statistics. Statistics & probability letters, 80(21), 1663-1672.

[6] Ahsanullah, M. (1980). Linear prediction of record values for the two parameter exponential distribution. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 32(1), 363-368.

[7] Al-Hussaini, E. K., & Al-Awadhi, F. (2010). Bayes two-sample prediction of generalized order statistics with fixed and random sample size. Journal of Statistical Computation and Simulation, 80(1), 13-28.

[8] Arnold, B. C., Balakrishnan, N., & Nagaraja, H. N. (1998). Records. New York, NY: John Wiley & Sons.

[9] Arnold, B. C., Balakrishnan, N., & Nagaraja, H. N. (2008). A first course in order statistics. Society for Industrial and Applied Mathematics.

[10] Asgharzadeh, A., & Fallah, A. (2010). Estimation and prediction for exponentiated family of distributions based on records. Communications in Statistics—Theory and Methods, 40(1), 68-83.

[11] Balakrishnan, N., Beutner, E. & Cramer, E. (2013). Computational aspects of statistical intervals based on two Type-II censored samples. Computational Statistics, 28, 893-917.

[12] Basiri, E., & Ahmadi, J. (2015). Prediction intervals for generalized-order statistics with random sample size. Journal of Statistical Computation and Simulation, 85(9), 1725-1741.

[13] Basiri, E., Ahmadi, J., & Raqab, M. Z. (2016). Comparison among non-parametric prediction intervals of order statistics. Communications in Statistics-Theory and Methods, 45(9), 2699-2713.

[14] Dasgupta, T., & Mandal, A. (2008). Estimation of process parameters to determine the optimum diagnosis interval for control of defective items. Technometrics, 50(2), 167-181.

[15] David, H. A. & Nagaraja, H. N. (2003). Order statistics (3rd ed.). Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons.

[16] Hsieh, H. K. (1997). Prediction intervals for Weibull order statistics. Statistica Sinica, 1039-1051.

[17] Lawless, J. F. (1977). Prediction intervals for the two parameter exponential distribution. Technometrics, 19(4), 469-472.

[18] Raghunandanan, K., & Patil, S. A. (1972). On order statistics for random sample size. Statistica Neerlandica, 26(4), 121-126.

[19] Raqab, M. Z., & Balakrishnan, N. (2008). Prediction intervals for future records. Statistics & Probability Letters, 78(13), 1955-1963.

[20] Soliman, A. A. (2000). Bayes prediction in a Pareto lifetime model with random sample size. Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician), 49(1), 51-62.

‎[21] Sultan, K. S., & Abd Ellah, A. H. (2006). Exact prediction intervals for exponential lifetime based on random sample size. International Journal of Computer Mathematics, 83(12), 867-878.