Developing an All-Unit Quantity Discount Model with Complete and Incomplete Information: A Bertrand Competition Framework

Document Type : Research Paper


Department of Industrial Engineering, Golpayegan College of Engineering, Isfahan University of Technology, Golpayegan, Iran


There are studies regarding monopolistic all-unit quantity discount but we add the duopoly Bertrand competition under incomplete information with it, which is not treated earlier. Then, a systematic procedure is outlined to compute pay-off functions for the developed game. A real numerical example is given in support of the solution procedure and a sensitivity analysis is carried out to examine the important parameters on the equilibrium quantities. This study provides several interesting insights. For instance, it is approved that if retailers know each other completely or not, under some special conditions, rejecting the offered discount is the strictly dominant strategy adopted by the retailers. By doing sensitivity analysis for a real-world case, it is displayed that for maximizing profit, the company should pay more attention to increasing the demand rather than reducing the costs. It could be seen that a change in the value of all parameters except the fixed ordering cost and the holding cost rate results in changing the discount strategy selected by the retailers. Investigating an incomplete information in comparison with the common knowledge case, it is necessary that retailers obtain more accurate knowledge about their rivals.


Main Subjects

Article Title [Persian]

توسعه یک مدل تخفیف کل با در نظر گرفتن اطلاعات کامل و ناقص: رقابت برتراند

Author [Persian]

  • معصومه مسی بیدگلی
گروه مهندسی صنایع، دانشکده فنی و مهندسی گلپایگان، دانشگاه صنعتی اصفهان، اصفهان، ایران
Abstract [Persian]

پژوهش‏های متعددی در حوزه مدل‏های تخفیف کلی در بازارهای انحصاری تاکنون انجام گرفته است. در این تحقیق ما به بررسی مدل‏های تخفیف کلی در شرایط رقابت قیمتی دوجانبه با فرض عدم وجود اطلاعات کامل بین رقبا می‏پردازیم. روش سیستماتیکی برای محاسبه توابع پیامد در بازی توسعه‏داده‏شده ارائه می‏نماییم. با اجرای الگوریتم توسعه یافته بر روی یک مثال عددی واقعی، آنالیز حساسیت جهت شناسایی پارامترهای مهم بر مقادیر تعادلی سفارشات هر یک از رقبا از تامین‏کنندگان انجام می‏گیرد. این تحقیق به بررسی چند موضوع جالب می‏پردازد: در این تحقیق اثبات می‏شود که در شرایطی که رقبا اطلاعات کاملی از یکدیگر دارند یا ندارند، تحت شرایطی خاص، نپذیرفتن تخفیف پیشنهادی از سوی تامین‏کننده، استراتژی غالب خرده‏فروش‏ها می‏باشد. هم‏چنین براساس نتایج حاصل از آنالیز حساسیت، نشان داده می‏شود که خرده‏فروش‏ها به منظور بیشینه کردن سودشان لازم است به جای کم کردن هزینه‏ها، توجه بیشتری به افزایش تقاضا داشته باشند. نشان داده می‏شود که تغییر در مقدار همه پارامترها به جز تغییر در هزینه ثابت سفارش‏دهی و نرخ هزینه نگهداری، به تغییر در استراتژی پذیرش یا عدم پذیرش تخفیف توسط خرده‏فروش‏ها می‏انجامد. با مقایسه بازی در دو حالت اطلاعات کامل و ناقص مشاهده می‏شود که ضروری است خرده‏فروش‏ها اطلاعات دقیق‏تری از رقیب خود کسب نمایند.

Keywords [Persian]

  • اطلاعات کامل و ناکامل
  • بازی بیزین
  • تخفیف کلی
  • رقابت برتراند
  • کنترل موجودی
Alfares, H. K., & Ghaithan, A. M. (2016). Inventory and pricing model with price-dependent demand, time-varying holding cost, and quantity discounts. Computers & Industrial Engineering, 94, 170-177.
Bayrak, H., & Bailey, M. D. (2008). Shortest path network interdiction with asymmetric information. Networks, 52(3), 133-140.
Benton, W. C., & Park, S. (1996). A classification of literature on determining the lot size under quantity discounts. European Journal of Operational Research92(2), 219-238.
Forghani, K., Mirzazadeh, A., & Rafiee, M. (2013). A price-dependent demand model in the single period inventory system with price adjustment. Journal of Industrial Engineering, 2013.
Li, X., Nukala, S., & Mohebbi, S. (2013). Game theory methodology for optimizing retailers’ pricing and shelf-space allocation decisions on competing substitutable products. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology68(1), 375-389.
Mahmoodi, A. (2019). Joint pricing and inventory control of duopoly retailers with deteriorating items and linear demand. Computers & Industrial Engineering132, 36-46.‏
Mahmoodi, A. (2020). Stackelberg–Nash equilibrium of pricing and inventory decisions in duopoly supply chains using a nested evolutionary algorithm. Applied Soft Computing86, 105922.‏
Melnikov, S. (2017). Bertrand-Nash Equilibrium in the Retail Duopoly Model under asymmetric costs. International Journal of Engineering30(6), 859-866.‏
Navidi, H., & Bidgoli, M. M. (2011). An all-unit quantity discount model under a Cournot competition with incomplete information. International Journal of Management Science and Engineering Management, 6(5), 393-400.
Saha, S., Nielsen, I. E., & Moon, I. (2021). Strategic inventory and pricing decision for substitutable products. Computers & Industrial Engineering, 160, 107570.‏
Shah, N. H. (2014). Ordering policy for inventory management when demand is stock-dependent and a temporary price discount is linked to order quantity. Investigación Operacional33(3), 233-244.
Shi, J., Zhang, G., & Lai, K. K. (2012). Optimal ordering and pricing policy with supplier quantity discounts and price-dependent stochastic demand. Optimization61(2), 151-162.
Xiao, T., & Qi, X. (2008). Price competition, cost and demand disruptions and coordination of a supply chain with one manufacturer and two competing retailers. Omega36(5), 741-753.
Zhang, J. L., Lee, C. Y., & Chen, J. (2009). Inventory control problem with freight cost and stochastic demand. Operations Research Letters, 37(6), 443-446.